Nature: Математики открыли новый класс природных форм — мягкие ячейки

Математики описали новый класс фигур, часто встречающихся в природе: от камер в спиральной раковине наутилуса до способа упаковки семян в растения.

В работе рассматривается математическая концепция «плитка»: как формы тесселируются на поверхности. Исследователи вывели принципы построения плиток с помощью нового набора геометрических строительных блоков с закруглёнными углами, которые они назвали „мягкими ячейками“.

Просто никто не делал этого раньше, — говорит Хаим Гудман-Стросс, математик из Национального музея математики в Нью-Йорке, который не принимал участия в работе.

Тысячелетиями было известно, что только определённые типы многоугольных плиток могут заполнить двумерное пространство без зазоров.

С момента открытия квазикристаллов в 1980-х особый интерес вызывают потолки, заполняющие пространство без регулярно повторяющегося расположения, например, потолки Пенроуза.

В прошлом году учёные создали первую квазипериодическую плитку, в которой отсутствует истинная периодичность и которая использует всего одну форму плитки.

Избегая углов

Математик Габор Домокош из Будапештского университета технологии и экономики с коллегами изучили, что произойдёт, если закруглить некоторые углы в периодических многоугольных плитках. В двух измерениях не все углы можно скруглить без зазоров. Но пространство можно заполнить, если некоторые углы превратить в «куспиды». У таких углов внутренние углы равны нулю, их края пересекаются по касательной, как у капли, и они плотно прилегают к закруглённым углам.

Домокос и его коллеги создали алгоритм, который плавно преобразует геометрические плитки (двумерные многоугольники или трёхмерные многогранники) в мягкие ячейки. Они изучили различные формы, которые можно получить с помощью этого алгоритма.

В двумерном пространстве возможности ограничены: все плитки должны иметь как минимум два острых угла. В трёхмерном же пространстве мягкие ячейки могут заполнять объёмное пространство без углов.

Исследователи выяснили, насколько «мягкими» могут быть трёхмерные плитки, и обнаружили, что самые мягкие из них не имеют компактную форму. На краях таких плиток есть круглые выступы, похожие на фланцы. Они обычно отходят от седловидных поверхностей плитки. Самые мягкие элементы формы — это почти плоские круглые диски, которые похожи на фланцы 3D-плитки.

Цена перегибов

Домокос считает, что для любой многогранной плитки существует уникальная максимально мягкая плитка. Он подозревает, что в реальных материалах этот оптимум будет максимизировать какую-то физическую величину, связанную с энергией изгиба краев или межфазным натяжением.

Доказательств этой гипотезы пока нет, но Домокос надеется, что кто-нибудь сможет её доказать.

Исследователи обнаружили мягкие потолки в природе: в 2D-формах островов в реках, сечениях слоёв лука и биологических клеток в тканях, а также в 3D-отделениях спиральных раковин, таких как у наутилуса.

Природа обычно избегает углов, потому что они требуют больших затрат энергии на деформацию и могут ослабить структуру. Изучение наутилуса стало важным этапом работы. В поперечном сечении отсеки раковины напоминали двумерные мягкие ячейки с двумя углами. Однако соавтор исследования Криштина Регош подозревала, что у трёхмерной камеры вообще нет углов. Сначала это казалось невероятным, но позже выяснилось, что она была права.

Древняя геометрия

Удивительно, что до сих пор никто не формализовал понятие мягких ячеек, ведь для анализа используется известная уже несколько веков математика.

Домокос считает, что всё дело в увлекательности и богатстве мира многоугольных и многогранных тилингов — математикам просто не нужно было расширять свою игровую площадку. Он предполагает, что некоторые думают, будто для новых открытий нужна продвинутая математика или передовые вычисления, а не устоявшиеся геометрические методы.

Гудман-Стросс считает, что эта работа предлагает описание структур, но не раскрывает новых физических принципов их формирования в природе. По его словам, чтобы понять речные берега, нужно рассмотреть физический процесс с первых принципов — роль потока, переноса осадочных пород и эрозии.

Домокос и его коллеги считают, что архитекторы, такие как Заха Хадид, интуитивно используют мягкие ячейки вместо углов. Это делается либо по эстетическим, либо по структурным причинам.

После завершения работы над статьёй Домокос с соавтором Аленом Гориели из Оксфордского университета (Великобритания) сотрудничали с архитекторами из Калифорнийского колледжа искусств в Сан-Франциско. Вместе они разработали конструкцию с использованием элементов с мягкими ячейками из яичной скорлупы.

22.09.2024